摘要

将具有简单速度势的Layzer模型和Zufiria模型推广至非理想流体情况，并分别利用这两种模型研究了界面张力对Rayleigh-Taylor不稳定性的影响。首先得到了两种模型下气泡的渐近速度和渐近曲率的解析表达式；其次系统研究了界面张力对气泡的渐近速度和渐近曲率的影响；最后将两种模型进行了比较，并将气泡的渐近速度和数值模拟进行了比较。研究表明：界面张力压低了气泡的速度，但对曲率没有影响；利用简单速度势的Layzer模型所得的气泡的渐近速度比复杂速度势的Layzer模型的值小，但是比Zufiria模型的值大；当阿特伍德数等于1时，简单速度势的Layzer模型和复杂速度势的Layzer模型给出的结果一致。

引言

两种密度不同的流体混合，当密度梯度和外场加速度相反时，界面所表现出的不稳定现象被称为Rayleigh-Taylor不稳定性。RT不稳定性是流体力学中的重要问题，广泛存在于天体物理、等离子体、核聚变、惯性约束聚变中，对该问题的深入研究具有重要的理论和现实意义。

RT不稳定性大致可以分为三个阶段：早期线性增长阶段、非线性增长阶段和湍流混合阶段。在早期阶段，微扰振幅增长率呈指数增长，这一点人们已经达成共识。当微扰振幅和波长可以比拟时，非线性发生，此时重流体以尖钉的形式在轻流体中演化，而轻流体则以气泡的形式在重流体中上升。在非线性增长的后期，气泡和尖钉则是以恒定的速度增长。为了描述这一阶段的演化，历史上曾出现两种主要的理论模型，一种是Layzer模型，另一种是Zufiria模型。1955年Layzer建立了适用于气泡顶端附近的势流模型，被称之为Layzer模型。Zhang后来对该模型的速度势进行了修改。Goncharov、Sohn等人分别提出了新的速度势，将Layzer模型推广并应用于任意密度比情形。1988年Zufiria提出了另一种理论模型，该模型假想在气泡的下面存在一个点源，又称点源模型。Zufiria模型的速度势是复数，而Layzer模型的速度势是实数。Zufiria模型的运算过程比Layzer模型复杂。早期Zufiria模型也只适用于无限密度比情形。后来Sohn将其推广并应用于任意密度比情形。

Layzer模型和Zufiria模型都是建立在理想流体之上。然而对实际流体而言，很多因素都可以影响RT不稳定性的演化情况，如密度比、黏性、界面张力、压缩性、外场加速度、Kelvin-Helmholtz不稳定性等。Young和Sohn利用Goncharov提出的复杂速度势，将Layzer模型推广并应用到非理想流体中，研究了界面张力对RT不稳定性增长的影响，发现界面张力降低了气泡的增长速率。2011年本文的作者之一利用Zufiria模型研究了黏性对RT不稳定性增长的影响。但是，目前没有人利用Sohn提出的简单速度势的Layzer模型研究界面张力对RT不稳定性的影响，也没有人利用Zufiria模型研究界面张力对RT不稳定性的影响。

本文分别利用Sohn提出的简单速度势的Layzer模型和Zufiria模型研究界面张力对RT不稳定性增长的影响，并对不同模型进行比较。

利用Layzer模型研究RT气泡速度

假定两种流体装在一个无限长的竖直管中，重流体在上，轻流体在下面，两种流体是无旋、不可压缩的非理想流体。研究主要集中在层流、单模耦合。两种流体的交界面用(y=eta(x,t))描述，并建立如图1所示的坐标系。气泡的顶端类似于抛物线，因此可将界面在气泡顶端附近将交界面处的方程进行泰勒展开，并保留二次项。

因为流体是无旋的，速度势满足Laplace方程：

Young等利用复杂速度势单独考虑了界面张力对RT不稳定性的影响。在此，将本次结果和Young等的结果进行了比较，如图2所示，实线是本次结果，虚线是Young等人的结果。可以发现，当邦德数较小时，界面张力很大，两种结果所计算的弗劳德数基本一致；而当邦德数较大时，界面张力较小，发现本次工作的结果小于Young等人的结果。

当取邦德数一定时，气泡的弗劳德数随阿特伍德数的变化如图3所示。在图3中Bo=20pi^2。从图中可以发现，利用Goncharov所提出的复杂速度势运算的结果比本次工作稍微大一些。在阿特伍德数等于1时，两种理论结果完全一致。当阿特伍德数较小时，两种理论结果也基本一致。

利用Zufiria模型研究RT气泡速度

Zufiria模型假设在气泡的顶端下面存在一个点源，点源的强度为Q，在气泡的顶端建立动坐标系，如图4所示。重力加速度为g，气泡顶点到点源的距离为H，气泡的曲率半径为R。假定在一个无限长的竖直管内装有两种流体，管道的宽为D，两种流体是无旋的。轻重流体的复杂势分别表示为(F_1(z)=varphi_1+itheta_1)，(F_h(z)=varphi_h+itheta_h)。其中varphi_h(varphi_1)和theta_h(theta_l)分别是重（轻）流体的速度势和流函数。在动坐标系((hat{x},hat{y}))中，气泡顶端界面可以表示为(z(t)=y(t)+i x(t))，气泡顶端的界面可以表示为：

将Zufiria模型和Layzer模型进行对比，结果如图5所示。从图5明显看出：界面张力都降低了气泡的渐近速度；在考虑界面张力的情况下，Zufiria模型所计算的渐近速度比Layzer小。从图中还可以发现，当邦德数小于200时，气泡的渐近速度受界面张力的影响较大。当邦德数趋于无穷大（即理想流体）时，两种模型的差别依旧很明显。

图6将Layzer模型和Zufiria模型进行了比较。可以看出，在理想流体情况下，Zufiria模型所计算的气泡的渐近速度小于Layzer模型；在考虑界面张力的情况下，Zufiria模型的结果仍然小于Layzer模型的结果。这一结论和Sohn所得结果一致。

最后，榴莲视频下载官网入口将两种理论模型的结果与数值模拟进行了比较，如图7所示。在误差允许的范围内，Zufiria模型和Layzer模型与数值模拟符合的都很好。由简单速度势的Layzer模型得出的结果更接近于数值模拟。另外，从图7中还可以看出，简单速度势的Layzer模型计算值比数值模拟结果高，而Zufiria模型比数值模拟低。这可能由于Zufiria模型假设速度势是复数势，会人为引进速度的耗散，导致结果比数值模拟低，而Layzer模型的计算值略高于数值模拟的原因可能由于数值模拟没有达到渐近速度。

结论

本文将简单速度势的Layzer模型和Zufiria模型推广至非理想流体，并利用两种模型考虑了界面张力的影响。分别得出了利用简单速度势的Layzer模型和Zufiria模型在考虑界面张力情况下Rayleigh-Taylor不稳定性非线性演化后期气泡的渐近解和曲率半径的解析表达式。定量分析了模型之间的差别。结果表明：界面张力压低了气泡的渐近速度，但却对气泡的曲率没有影响。在考虑界面张力的情况下，简单速度势的Layzer模型比复杂速度势的Layzer模型给出的渐近速度小，但在阿特伍德数趋于1时，两种模型的结果一致；Zufiria模型的结果始终小于Layzer模型。